You quoted a בעל “תרומת הדשן” סימן י as if the Trumas Hadeshen is implying that whenever there is Pritzus its still גלוי הראש”
Here are the words in full, I don’t think this was his intent, let anyone that see say pshat:
שאלה:
מרגלא בפומייהו דאינשי, שאותן כובעים שהן קלועין מקש – לא חשיבי כיסוי לראש להתפלל בהן או להזכיר הברכה בשם, כשאין הראש מכוסה אלא באותו כובע; יש ליזהר מזה או לאו?
תשובה:
יראה דאין דין להקפיד בדבר הזה. וכן שמעתי מאדם אחד, שגדול אחד נשאל על זה, והורה דאין קפידא בדבר, וטעמא וראיה לא הגיד לדבריו.
ונראה להביא ראיה, מהא דאיתא פרק המדיר (כתובות עב, א), לגבי גילוי ראש דאשה יש לה סמך מן התורה, דמוזהר עלה, ואפילו הכי קאמר התם דמדאורייתא – בקלתה על ראשה שריא, ואפילו ברשות הרבים ומחצר לחצר דרך מבוי; ואפילו משום דת יהודית לית לה בה. הא קמן, דאפילו סל, דאינו דומה כלל לכיסוי הבגד, שהרי הוא חלול בכמה מקומות, לפי שאינן קלועין יפה. וכל שכן כובעין של קש, הוא קלוע מרוצף ומהודק היטב, ודומה לכיסוי של בגד.
ואף על גב דבלאו הכי יש חילוק בין גילוי הראש דהתם להכא, דאמרינן התם, דבחצר – האשה אינה צריכה שום כיסוי; וגילוי הראש לעניין ברכה – קפידא אפילו בבית?
יש לומר דוודאי איסור גילוי הראש דהתם איננו אלא משום פריצות דגברי, והיכא דלא שכיחא רבים, כגון בחצר, אין קפידא; אבל איסור גילוי ראש דהכא, משום קלות ראש כלפי שמיא, דמדכר שם מקום ב”ה שלא באימה וביראה, ואין לחלק בין בית לרשות הרבים, דמלא כל הארץ כבודו. מכל מקום ילפינן מגילוי הראש דהתם, האי כדיניה והאי כדיניה. ואפילו עטיפה קרי ליה לכיסוי ראש דאשה, כדאיתא פרק בתרא דעירובין: עטיפה כאבל; ופירש רש”י, משום דאינו יוצא בפריעת ראש. ועוד היה נראה להביא ראיה מפרק כל כתבי (שבת קכ, ב), דתניא התם: הרי שהיה שֵם כתוב על בשרו, ונזדמן לו טבילה של מצוה, כורך עליו גמי. ומסיק, דהטעם הוא מפני דאסור לעמוד לפני השם ערום, ולכך כורך עליו גמי לכסותו. אלמא דגמי מהני לכיסוי, והוא הדין קש, דמאי שנא?
אך דקשה לן עלה, דעל כרחך כיסוי דהתם סגי לן בכל דהו, טפי מכיסוי דלעניין ברכה בהזכרת השם, דפריך התם: ונינח ידיה עלויה דשם, ולמה לי גמי? ומשני: משום דלמא מישתלי ושקיל ליה לידיה; הא לאו הכי, סגי בכיסוי היד. ולעניין ברכה, העתיק אחד מהגדולים מתשובת אור זרוע, דלא מהני אם משימין ידים על גילוי הראש לברך כך, אם לא יכסנו בבגד. והביא ראיה מהא דעבד רבינו תם, כשהיה רוחץ בחמין והיה שותה, היה מתכסה בבגד כנגד ליבו, שלא יהא ליבו רואה את הערוה; משמע דווקא בבגד ולא בידים. אמנם יש לומר, דהא דלגבי כיסוי השם מהני מה שהניח ידו עליו, ולגבי הזכרת הברכה לא מהני כיסוי הידים, לאו משום דהאי כיסוי חמיר מהאי. אלא היינו טעמא דלא מהני שמניח ידיו על ראשו, או אם יהא חוצץ בהן כנגד ליבו, משום דהראש והלב והיד חד גוף אינון, ואין הגוף יכול לכסות את עצמו. מה שאין כן לגבי כיסוי השם, שהיד אינה בא לכסות הגוף, אלא לכסות שֵם שאינו מן הגוף. ומכל מקום שמעינן מהתם דכיסוי גמי חשיב כיסוי, והוא הדין כיסוי קש.
תרומת הדשן” סימן י